Cara Mencari KPK dan FPB dengan Excel

Cara Mencari KPK dan FPB dengan Excel - Mencari KPK (Kelipatan Persekutuan Terkecil) dan FBP (Faktor Persekutuan Terkecil) merupakan pelajaran matematika SD, masih ingat gak? Ada beberapa cara yang bisa kita tempuh untuk mencarinya baik secara manual maupun dengan bantuan sofware komputer semacam Microsoft Excel.

Memanfaatkan Microsoft Excel yang pastinya ada di komputer kita untuk mencari KPK dan FPB merupakan cara yang sangat praktis dan mudah. Namun perlu di ingat, walaupun dengan bantuan excel menjadi sangat mudah, jangan sampai kita malas untuk belajar secara manual. Karena bagaimana pun siswa harus tahu cara menghitungnya secara manual dan paham tentang konsep dasar KPK dan FPB. Jadi penggunaan software semacam ini bisa kita jadikan alat untuk mengecek apakah sudah benar pekerjaan kita atau belum..okey...

Nah..sekarang langsung aja kita praktekin bagaimana cara Mencari KPK dan FPB dengan Excel.
Misalkan ada soal nih..

 Tentukan nilai KPK dan FPB dari 24, 30, dan 36 !

Untuk memecahkan persoalan tersebut dengan bantuan Microsoft Excel, langkah-langkahnya adalah:
1. Buka dulu microsoft excel di komputer kita

2. Setelah M. Excel kebuka, sekarang tulis aja fungsi berikut di salah satu kotak yang ada.
3. Untuk mencari KPK, fungsi yang digunakan yaitu LCM (Least Common Multiple of Integer)
    Ketik

 

    Kemudian klik Enter , hasilnya :

    Jadi, KPK dari 24, 30, dan 36 adalah 360

4. Untuk mencari FPB, fungsi yang digunakan yaitu GCD  (Greatest Common Divisor)
    Ketik

    Kemudian klik Enter , hasilnya :

    Jadi, FPB dari 24, 30, dan 36 adalah 360

Selesai,,,,,,, Mudah bukan??

Semoga artikel tentang Cara Mencari KPK dan FPB dengan Excel ini bermanfaat

Mainan Peninggalan Pythagoras

Semasa kecil, Pythagoras pernah menyusun kerikil dalam bentuk segi-tiga dengan jumlah kerikil yang berbeda namun berurutan:

1 = 1
1 + 2 = 3
1 + 2 + 3 = 6
1 + 2 + 3 + 4 = 10
1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15

Dengan menjumlah 2 angka yang bersebelahan akan ditemukan hasil suatu bilangan yang dikuadratkan:

1 + 3 = 4 (2 x 2)
3 + 6 = 9 (3 x 3)
6 + 10 = 16 (4 x 4)
10 + 15 = 25 (5 x 5)

“Mainan” ini ternyata memicu terjadinya rumus Pythagoras yang terkenal:
a² + b² = c². Seorang guru memberi tebakan “mainan” ini kepada Galileo sehingga akhirnya Galileo tertarik untuk menekuni matematika, sebagai alat untuk menjelaskan alam semesta (kosmologi).

Aljabar iseng

Menghadapi problem yang ruwet adalah biasa, namun jika kembali pada problem aljabar sederhana terkadang justru menyulitkan. Cobalah dengan hati dingin dan lapang dada menjawab problem:

x² = x.

Mana mungkin bilangan dikuadrat sama dengan bilangan sama yang tidak dikuadratkan. Rasanya salah tulis.


Jawaban:
Jadikan ke dalam satu ruas sehingga menjadi persamaan x² - x = 0, dengan menggunakan rumus abc dapat diperoleh x1=0 dan x2=1

Tutorial Geogebra

Menentukan akar-akar persamaan polinomial dengan GeoGebra

Bagaimana cara menentukan akar-akar persamaan polinomial ini?

x⁴ – 4x³ – x² + 16x – 12 = 0

Penyelesaian:

Kalau kita tulis akar-akar polinomial itu adalah p, q, r, dan s, maka menurut teorema vieta berlaku

x⁴ – (p+q+r+s)x³ + (pq + pr + ps + qr + qs + rs)x² – (pqr + pqs + prs + qrs)x + (pqrs)=0.

Ini artinya

p + q + r + s = 4,

pq + pr + ps + qr + qs + rs = – 1,

pqr + pqs + prs + qrs = – 16, dan

pqrs = – 12.

Nah, yang akan kita lihat adalah pada pqrs nya atau pada koefisien berderajat paling kecil, lebih mudahnya adalah biasanya yang paling belakang dari polinomial itu. Pada persamaan itu nilai yang akan menjadi patokan adalah – 12. Karena 12 itu adalah hasil kali dari akar-akarnya, maka ada kemungkinan akar-akar polinomialnya adalah faktor dari 12. Sekarang kita sebutkan faktor-faktor dari 12, yaitu 1, 2, 3, 4, 6, dan 12, itu juga berlaku untuk bilangan negatifnya.

Langkah selanjutnya adalah menggunakan aturan Horner.

	x4	x3	x2	x1	x0
koefisien	1	– 4	– 1	16	– 12
1		1	– 3	– 4	12
h(x) =	1	– 3	– 4	12	0

Ya, sisanya nol. Berarti dugaan kita benar. 1 adalah faktor dari polinomial itu. Berarti 1 adalah salah satu akar persamaan polinomial itu. Sekarang kita punya hasil bagi h(x)= x³ – 3x² – 4x + 12.

Secara lengkap boleh kita tulis seperti ini.

x⁴ – 4x³ – x² + 16x – 12 = (x – 1)(x³ – 3x² – 4x + 12)

mungkin 2 adalah akar yang lain. Siapa tau kan? Kita coba saja lagi dengan Horner. Kita pecah lagi h(x) yang telah kita dapat.

	x3	x2	x1	x0
koefisien	1	– 3	– 4	12
2		2	– 2	– 12
h(x) =	1	– 1	– 6	0

Benar sekali! :D berarti 2 juga akar persamaan polinomial itu. Kita dapatkan h(x)= x²– x – 6. Sekarang kita punya bentuk menarik dari polinomial yang tadi menjadi seperti ini.

x⁴ – 4x³ – x² + 16x – 12 = (x – 1)(x – 2)(x²– x – 6).

Pastinya dengan sangat mudah kita dapat memfaktorkan bentuk h(x) terakhir itu menjadi seperti ini.

x²– x – 6 = (x – 3)(x + 2). Sehingga secara lengkap persamaan polinomial tadi dapat kita ubah menjadi seperti ini.

x⁴ – 4x³ – x² + 16x – 12 = 0

⇔ (x – 1)(x – 2)(x – 3)(x + 2) = 0.

Jadi akar-akar persamaan polinomial itu adalah x₁ = – 2, x₂ = 1, x₃ = 2, dan x₄ = 3.

Sekarang kita kerjakan dengan geogebra.

Buka geogebranya, kemudian kita masukkan polinomialnya pada input, (tanpa = 0) seperti ini.

Tekan enter untuk melihat hasilnya, setelah disesuaikan hasilnya seperti ini.

Akar persamaan artinya nilai x berapa saja sehingga polinomialnya itu nilainya nol? Kalimat itu berarti kapan (untuk x berapa saja) grafik itu berpotongan dengan sumbu X? Kita bisa mengetahuinya dengan sangat mudah dengan cara begini.

1. Pilih intersect two object (perpotongan dua objek)

2. kemudian klik grafik dan klik sumbu X.

3. Seketika muncul titik perpotongan grafik dan sumbu X. Itulah akar persamaan polinomial

x⁴ – 4x³ – x² + 16x – 12 = 0.

Di sisi aljabar (sebelah kiri) akan terlihat koordinat titik A, B, C, dan D seperti ini.
 

Mudah sekali bukan? Akar-akarnya adalah A= – 2, B = 1, C = 2, dan D = 3.

Polinomial dengan akarnya berupa bilangan irrasional.

Sekarang bagaimana kalau persamaan polinomialnya seperti ini? Masih bisakah kita menyelesaikannya? Tentu saja bisa.

x⁴ – 2x³ – x² + 6x – 6 = 0

Penyelesaian:

Kita lihat, faktornya 6 adalah 1, 2, 3, dan 6. akan tetapi kalau kita masukkan bilangan-bilangan itu, tidak menghasilkan nol. Bagaimana ini? Apa yang harus kita lakukan?

Jangan panik. Kita cek dulu dengan geogebra. Masukkan polinomial itu pada kotak input kemudian tekan enter.

Hasilnya adalah seperti ini.

Untuk mengetahui akar-akar polinomialnya, kita cari titik potong antara grafik itu dengan sumbu X. Caranya dengan intersect two object, pilih grafiknya, kemudian pilih sumbu X.

Hasilnya seperti ini.

Dan di bagian aljabar kita lihat titiknya adalah seperti ini.

Akar-akarnya adalah A = – 1,73 dan B = 1,73. kok hasilnya aneh? Desimal gitu sih? Pasti itu hasilnya adalah pembulatan. Kurang tepat dong.. Apalagi kalau nanti kita cek dengan Horner, x kita ganti dengan 1,73 mungkin tidak menghasilkan nol.

Jangan terburu-buru kecewa seperti itu, kawan, tidak baik. Sabar, orang sabar akan disayang Allah. Mari kita menggunakan sarana yang ada di geogebra untuk mengungkap apa yang terkandung di balik rahasia yang ada. Kita pakai bantuan dari lingkaran. Klik ikon lingkaran 
  
(circle with center through point: lingkaran dengan pusat tertentu dan melewati titik tertentu). Kemudian klik pada titik pusat O(0,0) dan klik titik B. Apa yang terjadi?

Terbentuk satu lingkaran dengan pusat O(0,0) dan berjari-jari berapa? Kita lihat pada bagian aljabarnya, seperti ini.

Diperoleh persamaan lingkaran x² +y² = 3.

Lho, itu kan lingkaran dengan pusat (0,0) dan jari-jarinya [Math Processing Error]

Sekarang aku tau nih.. Berarti titik A = [Math Processing Error] dan titik B = [Math Processing Error]

Artinya akar-akar persamaan polinomial itu adalah [Math Processing Error]

Ada satu lagi cara menarik yang ditemukan oleh Ajatoel Oelja, seorang yang penuh energi dan berselebrasi njungkel-njungkel, rol depan. Sangat unik pria yang satu ini.

Persamaan polinomial

x⁴ – 2x³ – x² + 6x – 6 = 0

bisa kita kerjakan dengan mengelompokkan pangkat-pangkat yang selang-seling (pangkat genap dengan pangkat genap: x⁴, x², x⁰ dan pangkat ganjil dengan pangkat ganjil: x³, x¹) sehingga tercipta suasana yang sejuk untuk dinikmati. Jadi persamaan polinomial itu kini menjadi seperti ini.

x⁴ – x² – 6 – 2x³ + 6x = 0

⇔ (x⁴ – x² – 6) – (2x³ – 6x) = 0

⇔ (x² + 2)(x² – 3) – 2x(x² – 3) = 0

⇔ (x² – 2x + 2)(x² – 3) = 0.

Jelas bahwa x² – 2x + 2 > 0 (positif). Jadi x² – 3 haruslah bernilai nol.

Diperoleh x² – 3 = 0

[Math Processing Error]
[Math Processing Error]

kira-kira saya sudah paham belum ya? Untuk mengujinya, silakan kerjakan soal latihan di bawah ini dengan cara Ajatoel Oelja tadi.

Tentukan akar-akar persamaan polinomial berikut ini.

1. x⁴ – 2x³ + 3x² + 4x – 10 = 0
2. x⁴ – 2x³ + 6x – 9 = 0
3. x⁴ – 3x³ – x² + 15x – 20 = 0
4. x⁴ – x³ – 3x² + 6x – 18 = 0
5. x⁴ – 4x³ – x² + 28x – 42 = 0

Persamaan kuadrat dengan GeoGebra

geogebra mempunyai dua tampilan, sebelah kiri untuk aljabarnya, dan sebelah kanan untuk geometrinya.
jika tampilan geogebra masih menggunakan bahasa inggris, kita bisa menggantinya dengan bahasa indonesia dengan cara klik option, language, F - L, Indonesian.

ok, kita mulai.
sebagai contoh pertama, kita akan mencari bagaimana bentuk grafik dari persamaan kuadrat ini?
x^2-7x+10=0
bagaimana solusinya?
pertama, masukkan x^2-7x+10 ke kotak masukan: (berada di kiri bawah) terus ditekan enter.

akan muncul pada jendela sebelah kiri (aljabar) f(x)=x^2-7x+10 dan pada jendela sebelah kanan (geometri), kita bisa melihat gambar grafik dari fungsi yang kita masukkan. di sini fungsi itu secara default (otomatis) didefinisikan sebagai f.

kemudian untuk mengetahui akar-akar persamaan kuadrat itu, ketikkan pada kotak masukan: akar[f], kalau sudah menggunakan bahasa indonesia, biasanya diketikkan 'aka' sudah muncul sendiri akar[], kalau masih menggunakan bahasa inggris, silakan ketik root[f].

sekarang pada jendela aljabar, di bawah objek-objek terikat muncul solusinya, yaitu A=(2,0) dan B=(5,0). ini berarti akar-akar persamaan f(x)=0 adalah x1=2 dan x2=5.

terlihat pada jendela geometri kedua akar itu, yaitu titik A dan B.

ok. ilustrasi dan penyelesaiannya sudah kita dapatkan.
sekarang hapus semuanya yuk..
caranya, pastikan icon panah (di bawah tulisan berkas) terpilih.
klik pada sembarang daerah kosong,
tekan ctrl + a (menyeleksi semua objek di jendela)
kemudian tekan tombol delete pada keyboard. (kalau di laptop 14" biasanya di sebelah pojok kanan atas).
secara ajaib dan mengejutkan, semuanya bersih tanpa sisa.
:D

episode ke dua
sekarang bagaimana dengan persamaan kuadrat ini?
x^2-8x+16=0
yuk, kita ikuti langkahnya. masih ingat yang tadi kan?
masukkan x^2-8x+16 ke kotak masukan, lalu tekan enter.

objek-objek bebas akan terlihat rumus fungsi f.

dan tampilan secara menyeluruh adalah seperti ini.

ketikkan akar[f] pada kotak masukan, enter.
hasilnya seperti ini.

gambar grafik f menyentuh sumbu x di satu titik saja. seperti ini nih..

hapus lagi semuanya.

episode ke tiga
kalau fungsi ini bagaimana solusinya?
x^2-6x+10=0
gambar grafik fungsi terlihat naik dan tidak menyentuh sama sekali.

dan jika kita ingin tahu berapa nilai x yang memenuhi persamaan itu maka masukkan saja perintahnya pada kotak masukan: akar[f]. apa yang terjadi? ya seperti ini.

oh, sekarang aku tahu!!
jadi grafik fungsi kuadrat itu ada 3 macam jenis,
yang pertama bisa memotong sumbu x di dua titik,
yang ke dua menyinggung sumbu x (di satu titik saja),
dan yang ke tiga, bisa tidak menyentuh sumbu x sama sekali.

ketika kita mengaitkan akar-akar persamaan kuadrat tadi dengan gambar grafik, ternyata pas.

nah, di dalam akar ini yang menentukan apakah persamaan kuadrat itu punya satu, dua, atau tidak ada sama sekali penyelesaian.
kalau di dalam akar ini nilainya > 0 (baca: positif) maka nantinya akan ada dua, karena ada tanda + dan - di depannya.
kalau di dalam akar nilainya = 0 (nol) maka ada satu saja akarnya, karena + akar nol = - akar nol = ya nol juga.
trus kalau di dalam akar nilainya negatif, maka sementara ini tidak boleh karena di bilangan riil tak ada akar negatif. mungkin kalau nanti belajar bilangan kompleks ya ada nilainya. dan itu bisa kita lihat sendiri grafik fungsi yang tidak ada penyelesaiannya itu tidak menyentuh sama sekali sumbu x. di sumbu x tidak ada ketinggian, berarti fungsi f nya sama dengan nol.

Contoh penyelesaian soal dengan GeoGebra

Contoh soal:
D adalah sebuah titik dalam segitiga sama sisi ABC yang memenuhi sudut ADB=150 derajat. Buktikan bahwa segitiga yang dibentuk dengan mengambil segmen CD, D'D, CD' sebagai tiga sisinya adalah segitiga siku-siku dengan merotasikan segitiga ADB sebesar 60 derajat.

Dengan menggunakan GeoGebra berikut langkah-langkahnya:
Seperti yang diketahui diatas bahwa terdapat titik D dalam segitiga ABC sama sisi dengan sudut ADC sebesar 150 derajat.

Langkah pertama kita buat titik A dengan menggunakan tool New Point kemudian membuat sudut titik D sebesar 150 derajat dengan menggunakan tool Angel with Given Size.

Gambar 1

Ganti nama titik B dengan D sesuai yang diketahui diatas dengan mengklik dua kali titik tersebut lalu pilih rename.
Langkah selanjutnya gunakan tool Midpoint or Center untuk mendapatkan titik B diantara titik D dan A' yang merupakan titik tengah dari DA' dan salah satu titik pada segitiga ABC.
Selanjutnya membuat segitiga ABC dengan perpotongan dua lingkaran dititik tengah A dan titik tengah B yang akan menghasilkan titik C. Tool yang digunakan adalah Circle with Center through point.

Gambar 2

Untuk mendapatkan perpotongan di C pada dua lingkaran tersebut gunakan tool Intersect Two Objects dengan cara mengklik pada kedua garis yang berpotongan tersebut.

Gambar 3

Langkah selanjutnya adalah menyembunyikan bagian-bagian yang tidak perlu dengan cara mengklik lingkaran penuh pada jendela kiri sehingga lingkaran tersebut menjadi putih. Bila anda masih belum memahami sebaiknya anda melihat dulu pengenalan menu dalam GeoGebra yang sudah saya bahas sebelumnya.

Selanjutnya kita akan menghubungkan ketiga titik ABC yang sudah dibuat agar menjadi sebuah segitiga sama sisi dengan menggunakan tool Polygon dengan cara mengklik titik A lalu titik B lalu titik C dan terakhir titik A.

Gambar 4

Masih dengan tool yang sama ulangi langkah seperti di atas untuk membuat segitiga ADB dengan mengklik dari A lalu B lalu D dan terakhir ke A

Sekarang kita akan merotasi titik ADB sebesar 60 derajat seperti yang diketahui diatas dengan cara menggunakan tool Rotate Object around point by Angle yaitu dengan mengklik segitiga ADB lalu klik pada titik A maka akan menghasilkan rotasi yaitu segitiga AD'B.

Gambar 5

Langkah terakhir membuktikan segitiga CDD' merupakan segitiga siku-siku dengan menghubungkan tiga titik C, D dan D' menggunakan tool Polygon agar terbentuk sebuah segitiga. Setelah itu gunakan tool Angle untuk melihat besar sudut pada segitiga CDD' dengan cara mengklik dari titik D lalu titik D' lalu titik C.

Berikut hasil akhirnya

Hasil akhir

Selamat mencoba...