Belajar Matematika

Pengertian Integral

Integral merupakan bentuk operasi matematika yang menjadi kebalikan (invers) dari operasi turunan dan limit dari jumlah atau suatu luas daerah tertentu. Berdasarkan pengertian tersebut ada dua hal yang dilakukan dalam integral sehingga dikategorikan menjadi 2 jenis integral. Pertama, integral sebagai invers/ kebalikan dari turunan disebut sebagai Integral Tak Tentu. Kedua, integral sebagai limit dari jumlah atau suatu luas daerah tertentu disebut integral tentu.

integral - pengertian rumus trigonometri

Integral Tak Tentu

Integral tak tentu seperti sebelumnya dijelaskan merupakan invers/kebalikan dari turunan. Turunan dari suatu fungsi, jika diintegralkan akan menghasilkan fungsi itu sendiri. Perhatikanlah contoh turunan-turunan dalam fungsi aljabar berikut ini:

Turunan dari fungsi aljabar y = x3 adalah yI = 3x2
Turunan dari fungsi aljabar y = x3 + 8 adalah yI = 3x2
Turunan dari fungsi aljabar y = x3 + 17 adalah yI = 3x2
Turunan dari fungsi aljabar y = x3 – 6 adalah yI = 3x2

Seperti yang sudah dipelajari dalam materi turunan, variabel dalam suatu fungsi mengalami penurunan pangkat. Berdasarkan contoh tersebut, diketahui bahwa ada banyak fungsi yang memiliki hasil turunan yang sama yaitu yI = 3x2. Fungsi dari variabel x3 ataupun fungsi dari variabel x3 yang ditambah atau dikurang suatu bilangan (misal contoh: +8, +17, atau -6) memiliki turunan yang sama. Jika turunan tersebut dintegralkan, seharusnya adalah menjadi fungsi-fungsi awal sebelum diturunkan. Namun, dalam kasus tidak diketahui fungsi awal dari suatu turunan, maka hasil integral dari turunan tersebut dapat ditulis:

f(x) = y = x3 + C

Dengan nilai C bisa berapapun. Notasi C ini disebut sebagai konstanta integral. Integral tak tentu dari suatu fungsi dinotasikan sebagai:

$\int f(x) dx$

Pada notasi tersebut dapat dibaca integral terhadap x”. notasi disebut integran. Secara umum integral dari fungsi f(x) adalah penjumlahan F(x) dengan C atau:

$\int f(x) dx = F(x)$

Karena integral dan turunan berkaitan, maka rumus integral dapat diperoleh dari rumusan penurunan. Jika turunan:

$\frac{d}{dx}\frac{a}{(n+1)}x^{(n+1)} = ax^n$

Maka rumus integral aljabar diperoleh:

$\int ax^n dx = \frac{a}{(n+1)}x^{n+1} + C$

dengan syarat $n \neq 1$ .

Sebagai contoh lihatlah integral aljabar fungsi-fungsi berikut:

$\int 4x^3dx=\frac{4}{(3+1)}x^{(3+1)}+ C = x^4 + C$
$\int \frac{1}{x^3}dx = \int x^{-3} dx = \frac{1}{(-3+1)}x^{-3+1}+C$
$= -\frac{1}{2}x^{-2}+C = -\frac{1}{2x^2}+C$
$\int 4x^3 - 3x^2 dx = \frac{4}{(3+1)} x^{(3+1)} + \frac{3}{(2+1)}x^{(2+1)}+C$
$= x^4+x^3+C$

Integral Trigonometri

Integral juga bisa dioperasikan pada fungsi trigonometri. Pengoperasian integral trigonometri juga dilakukan dengan konsep yang sama pada pada integral aljabar yaitu kebalikan dari penurunan. Sehingga dapat simpulkan bahwa:

No.	Fungsi f(x) = y	Turunan $\frac{dy}{dx}$	Integral
1	y = sin x	cos x	$\int \cos x dx$ = sin x
2	y = cos x	– sin x	$\int \sin x dx$ = – cos x
3	y = tan x	sec2 x	$\int \sec^2 x dx$ = tan x
4	y = cot x	– csc2 x	$\int \csc^2 x dx$ = – cot x
5	y = sec x	tan x . sec x	$\int \tan x . \sec x d$ = sec x
6	y = csc x	-.cot x . csc x	$\int \cot x . \csc x dx$ = – csc x

Selain rumus dasar diatas, ada rumus lain yang bisa digunakan pada pengoperasian integral trigonometri yaitu:

Fungsi f(x) = y	Turunan $\frac{dy}{dx}$	Integral
$y = \frac{1}{a} \sin(ax+b)$	cos (ax + b)	$\int \cos (ax+b) dx$ = $\frac{1}{a}$ sin (ax + b) + C
$y = - \frac{1}{a} \cos (ax + b)$	sin (ax + b)	$\int \sin (ax+b) dx$ = $-\frac{1}{a}$ cos (ax + b) + C
y = $\frac{1}{a}$ tan (ax + b)	sec2 (ax + b)	$\int \sec^2(ax+b)dx$ = $\frac{1}{a}$ tan (ax + b) + C
y = $-\frac{1}{a}$ cot (ax + b)	csc2 (ax + b)	$\int \csc^2(ax+b) dx$ = $- \frac{1}{a}$ cot (ax + b)
y = $-\frac{1}{a}$ sec (ax + b)	tan (ax + b) . sec (ax + b)	$\int$ (ax+b) . sec(ax + b) dx= $\frac{1}{a}$ sec (ax + b) + C
y = $-\frac{1}{a}$ csc (ax + b)	cot (ax + b) . csc (ax + b)	$\int$ cot (ax + b) . csc (ax + b) dx = $-\frac{1}{a}$ csc (ax + b)

Sifat-sifat dari integral yaitu:

$\int k. f(x) dx=k.\int f(x)dx$ (dengan k adalah konstanta)
$\int f(x)+g(x)dx =\int(x)dx+\int g(x) dx$
$\int f(x) - g(x)dx = \int f(x)dx-\int g(x) dx$

Pengertian Turunan

Turunan adalah pengukuran terhadap bagaimana fungsi berubah seiring perubahan nilai yang dimasukan, atau secara umum turunan menunjukkan bagaimana suatu besaran berubah akibat perubahan besaran lainnya. Proses dalam menemukan turunan disebut diferensiasi.

Pada fungsi y = f(x), turunan dari variabel y terhadap variabel x dinotasikan dengan $\frac{dy}{dx}$ atau $\frac{df(x)}{dx}$ atau y’ dan didefinisikan sebagai:

$f'(x) =\lim\limits_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$

Rumus-rumus Turunan Fungsi Aljabar

Dengan definisi turunan akan dicari rumus-rumus turunan fungsi aljabar yang terdiri dari fungsi pangkat $f(x) = x^n$ , hasil kali fungsi f(x) = u(x) . v(x), hasil pembagian fungsi $f(x) = \frac{u(x)}{v(x)}$ , dan pangkat dari fungsi $f(x) = (u(x))^n$ .

1. Rumus turunan fungsi pangkat $f(x) = x^n$

Fungsi berbentuk pangkat turunannya dapat menggunakan rumus $f'(x) = \lim \limits_{h \to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$ sebagai:

$f'(x) = \lim \limits_{h \to 0}\frac{(x+h)^n - (x)^n}{h}$

$= \lim \limits_{h \to 0}\frac{\sum^n_{i=0}C^n_ix^{n-i}h^i-x^n}{h}$

$= \lim_{h \to 0}\frac{C^n_0x^n+C^n_1x^{n-1}h+C^n_2x^{n-2}h^2+\cdots+C^n_nh^n-x^n}{h}$

$= \lim \limits_{h\to0}\frac{x^n+nx^{n-1}h+\frac{n(n-1)}{2!}x^{n-2}h^2+\cdots+h^n-x^n}{h}$

$= \lim \limits_{h\to0}\frac{nx^{n-1}h+\frac{n(n-1)}{2!}x^{n-2}h^2+\cdots+h^n}{h}$

$= \lim \limits_{h\to0}(nx^{n-1}+\frac{n(n-1)}{2!}x^{n-2}h+\cdots+h^{n-1})$

$= nx^{n-1}+0+0+\cdots+0=nx^{n-1}$

Jadi rumus turunan fungsi pangkat adalah:

$f'(x ) = nx^{n-1}$

2. Rumus turunan hasil kali fungsi $f(x) = u(x) \cdot v(x)$

Fungsi f(x) yang terbentuk dari perkalian fungsi u(x) dan v(x), turunannya didapat dengan:

$f'(x) = \lim \limits_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$

$\lim \limits_{h\to0}=\frac{u(x+h)v(x+h)-u(x)v(x)}{h}$

$\lim \limits_{h\to0}=\frac{u(x+h)v(x+h)-u(x+h)v(x)+u(x+h)v(x)-u(x)v(x)}{h}$

$=\lim\limits_{h\to0}\frac{[u(x+h)v(x+h)-u(x+h)v(x)]+[u(x+h)v(x)-u(x)v(x)]}{h}$

$= \lim \limits_{h\to0}\frac{u(x+h)[v(x+h)-v(x)]}{h}+\lim \limits_{h\to0}\frac{[u(x+h)-u(x)]v(x)}{h}$

$= \lim \limits_{h\to0}u(x+h) \cdot \lim \limits_{h\to0}\frac{v(x+h)-v(x)}{h}+\lim \limits_{h\to0}\frac{u(x+h)-u(x)}{h}.\lim_{h\to0}v(x)$

$= u(x+0) \cdot v'(x)+u'(x) \cdot v(x)$

$u'(x).v(x)+u(x).v'(x)\overset{atau}{\rightarrow}u'.v+u.v'$

Jadi rumus turunan fungsinya adalah:

$f'(x)=u'v+uv'$

3. Rumus turunan fungsi pembagian $f(x)=\frac{u(x)}{v(x)}$

$f'(x) = \lim \limits_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}\overset{menjadi}{\rightarrow}\lim \limits_{h\to0}\frac{\frac{u(x+h)}{v(x+h)} - \frac{u(x)}{v(x)}}{h}$

sehingga

$f'(x) = \lim \limits_{h\to0}\frac{u(x+h)v(x)-u(x)v(x+h)}{h \cdot v(x+h)v(x)}$

$=\lim \limits_{h\to0}\frac{u(x+h)v(x)-u(x)v(x)-u(x)v(x+h)+u(x)v(x)}{h.v(x+h)v(x)}$

$= \lim \limits_{h\to0}\frac{[u(x+h)-u(x)]v(x)-u(x)[v(x+h)-v(x)]}{h.v(x+h)v(x)}$

$= \lim \limits_{h\to0}\frac{[u(x+h)-u(x)]v(x)}{h \cdot v(x+h)v(x)} - \lim \limits_{h\to0}\frac{u(x)[v(x+h)-v(x)]}{h \cdot v(x+h)v(x)}$

$=\lim \limits_{h\to0}\frac{u(x+h)-u(x)}{h}.\lim\limits_{h\to0}\frac{v(x)}{v(x+h)v(x)}- \lim\limits_{h\to0}\frac{u(x)}{v(x+h)v(x)}.\lim\limits_{h\to0}\frac{v(x+h)-v(x)}{h}$

$= u'(x).\frac{v(x)}{v(x+0)v(x)}-\frac{u(x)}{v(x+0)v(x)} \cdot v'(x)$

$=\frac{u'(x)v(x)}{v(x)v(x)}-\frac{u(x)v'(x)}{v(x)v(x)} \rightarrow\frac{u'(x)v(x)-u(x)v'(x)}{(u(x))^2} \rightarrow \frac{u'v-uv'}{v^2}$

Jadi rumus turunan fungsinya adalah

$f'(x) = \frac{u'v-uv'}{v^2}$

4. Rumus turunan pangkat dari fungsi $f(x)=(u(x))^n$

Ingat jika $f(x) = x^n$ , maka:

$f'(x)=\frac{df(x)}{dx}= \frac{dx^n}{dx} = nx^n-1$

Karena $f(x) = (u(x))^n=u^n$ , maka:

$f'(x) = \frac{df(x)}{dx} = \frac{du^n}{dx} \cdot \frac{du}{du}$

Atau

$f'(x) = \frac{du^n}{du} \cdot \frac{du}{dx} = nu^{n-1} \cdot u'$

Jadi rumus turunan fungsinya adalah:

$f'(x) = nu^(n-1) \cdot u'$

Rumus-rumus Turunan Trigonometri

Dengan menggunakan definisi turunan, dapat diperoleh rumus-rumus turunan trigonometri berikut: (dengan u dan v masing-masing fungsi dari x)

1. $y = \sin x \rightarrow y' = \cos x$
2. $y = \cos x \rightarrow y' = - \sin x$

$y = \tan x \rightarrow y' = \sec^2 x$
$y = \cot x \rightarrow y' = - \csc^2 x$
$y = \sec x \rightarrow y'$
$y = \csc x \rightarrow - \csc \times \cot x$
$y = \sin^n x y' = n \sin^{n-1} \times \cos x$
$y = \cos^nx \rightarrow y' = -n \cos^{n-1} \times \sin x$
$y = \sin u \rightarrow y' = u' \cos u$
$y = \cos u \rightarrow y' = - u' \sin u$
$y = \tan u \rightarrow y' = u' \sec^2 u$
$y = \cot u \rightarrow y' =-u' \csc^2u$
$y = \sec u \rightarrow y' = u' \sec u \tan u$
$y = \csc u \rightarrow y' = -u' \csc u \cot u$
$y = \sin^nu \rightarrow y' = n.u' \sin^{n-1} \cos u$
$y = \cos ^nu \rightarrow y'= -n \cdot u' cos^{n-1}u \cdot \sin u$

Aplikasi Turunan

1. Menentukan gradien garis singgung suatu kurva

Gradien garis singgung (m) pada suatu kurva y = f(x) dirumuskan sebagai:

$m = y' = f'(x)$

Persamaan garis singgung pada suatu kurva y = f(x) di titik singgung $(x_1, y_1)$ dirumuskan sebagai:

$y - y_1 = m(x - x_1) \rightarrow m = f'(x_1)$

2. Menentukan interval fungsi naik dan fungsi turun

Syarat interval fungsi naik $\rightarrow f'(x) > 0$
Syarat interval fungsi turun $\rightarrow f'(x) < 0$

3. Menentukan nilai stasioner suatu fungsi dan jenisnya

Jika fungsi y = f(x) kontinu dan diferensiabel di x = a dan f'(x) = 0, maka fungsi memiliki nilai statisioner di x = a. Jenis nilai stasioner dari fungsi y = f(x) dapat berupa nilai balik minimum, nilai balik maksimum, atau nilai belok. Jenis nilai stasioner ini bisa ditentukan dengan menggunakan turunan kedua dari fungsi tersebut.

Nilai maksimum $\rightarrow f'(x) = 0$ dan $\rightarrow f"(x) < 0$

Jika $f'(x_1) = 0$ dan $f'(x_1) < 0$ , maka $f'(x_1)$ adalah nilai balik maksimum dari fungsi y = f(x) dan titik $(x_1 f(x))$ adalah titik balik maksimum dari kurva y = f(x).

Nilai minimum $\rightarrow f'(x) = 0$ dan $f"(x) > 0$

Jika $f'(x_1) = 0$ dan $f'(x_1) > 0$ , maka $f(x_1)$ adalah nilai balik minimum dari fungsi $y = f(x)$ dan titik $(x_1f(x))$ adalah titik balik minimum dari kurva y = f(x).

Nilai belok $\rightarrow f'(x) = 0$ dan $f"(x) = 0$

Jika $f'(x_1) = 0$ dan $f''(x_1 = 0)$ , maka $f(x_1)$ adalah nilai belok dari fungsi y = f(x) dan titik $(x_1f(x))$ adalah titik belok dari kurva y = f(x).

4. Menyelesaikan soal limit berbentuk tak tentu $\frac{0}{0}$ atau $\frac{\infty}{\infty}$

Jika $\lim \limits_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}$ merupakan limit berbentuk tak tentu $\frac{0}{0}$ atau $\frac{\infty}{\infty}$ , maka penyelesaiannya dapat menggunakan turunan, yaitu f(x) dan g(x) masing-masing diturunkan.

$\lim\limits_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)} =\lim\limits_{x\to a}\frac{f'(x)}{g'(x)} = \frac{f'(a)}{g'(a)}$

Jika dengan turunan pertama sudah dihasilkan bentuk tertentu, maka bentuk tertentu itu adalah penyelesaiannya. Tetapi jika dengan turunan pertama masih dihasilkan bentuk tak tentu, maka masing-masing f(x) dan f(x) diturunkan lagi sampai diperoleh hasil berbentuk tertentu. Cara penyelesaian seperti ini disebut Dalil L’hopital.

5. Menentukan rumus kecepatan dan percepatan

Jika rumus atau persamaan posisi gerak suatu benda sebagai fungsi waktu diketahui yaitu s = f(t), maka rumus kecepatan dan kecepatannya dapat ditentukan yaitu:

Rumus kecepatan $\rightarrow v = s' = f'(t)$
Rumus percepatan $\rightarrow a = s' = f"(t)$

Contoh Soal Turunan Fungsi dan Pembahasan

Contoh Soal 1 – Turunan Fungsi Aljabar

Turunan pertama dari $f(x) = 4 \sqrt{2x^3 - 1}$ adalah

Pembahasan 1:

Soal ini merupakan fungsi yang berbentuk y = $au^n$ yang dapat diselesaikan dengan menggunakan rumus $y' = n \cdot a \cdot u^{n-1} \cdot u'$ . Maka:

$f(x) = 4 \sqrt{2x^3-1} = 4(2x^3-1)^{\frac{1}{2}}$

Sehingga turunannya:

$f'(x) = \frac{1}{2} \cdot 4(2x^3-1)^{-\frac{1}{2}} \cdot 6x^2$

$=2(2x^3-1) \cdot 6x^2$

$= 12x^2(2x^3-1)^{-\frac{1}{2}}$

$= \frac{12x^2}{(2x^3-1)^{\frac{1}{2}}}$

$=\frac{12^2}{\sqrt{2x^3-1}}$

Contoh Soal 2 – Turunan Fungsi Trigonometri

Tentukan turunan pertama dari

$f(x) = \frac{6}{\sqrt[3]{\sin (3x-\frac{\pi}{5})}}$

Pembahasan 2:

Untuk menyelesaikan soal ini menggunakan rumus campuran yaitu $f'(x) = \frac{u'v-uv'}{v^2}$ dan juga $y' = n \cdot u' \sin^{n-1}u \cdot \cos u$ . Sehingga:

$f(x) = \frac{6}{\sqrt[3]{sin(3x-\frac{\pi}{5})}}$

$f(x) = \frac{6}{(sin(3x-\frac{\pi}{5}))^{\frac{1}{2}}}$

$f'(x) = \frac{0 - 6 \cdot 3 \cdot \frac{1}{3}(\sin (3x - \frac{\pi}{5}))^{- \frac{2}{3}} \cdot \cos (3x - \frac{\pi}{5})}{(\sin (3x - \frac{\pi}{5}))^\frac{2}{3}}$

$f'(x) = \frac{-6(sin(3x-\frac{\pi}{5}))^{-\frac{2}{3}}.cos(3x-\frac{\pi}{5})}{(sin(3x-\frac{\pi}{5}))^{\frac{2}{3}}}. \frac{(sin(3x-\frac{\pi}{5}))^{\frac{1}{3}}}{(sin(3x-\frac{\pi}{5}))^{-\frac{1}{3}}}$

$f'(x) = \frac{-6(sin(3x-\frac{\pi}{5}))^{-1} cos(3x-\frac{\pi}{5})}{\sqrt[3]{sin(3x-\frac{\pi}{5}})}$

$f'(x) = \frac{-6cot(3x-\frac{\pi}{5})}{\sqrt[3]{sin(3x-\frac{\pi}{5})}}$

Contoh Soal 3 – Aplikasi Turunan

Tentukan nilai maksimum dari $f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x$ pada interval -1 ≤ x ≤ 3.

Pembahasan 3:

Ingat syarat nilai fungsi f(x) maksimum adalah $f'(x) = 0$ dan $f"(x) < 0$ maka:

$f_{max}$ jika $f'(x) = 0$

$3x^2 - 12x + 9 = 0$

$x^2 - 4x + 3 = 0$

$(x - 1)(x - 3) = 0$

dan $x_1 = 1$ dan $x_2 = 3$

$f_{max} = f(1) = 1^3 - 6.1^2 + 9.1$

$f_{max} = 4$