Menentukan akar-akar persamaan polinomial dengan GeoGebra

Bagaimana cara menentukan akar-akar persamaan polinomial ini?

x⁴ – 4x³ – x² + 16x – 12 = 0

Penyelesaian:

Kalau kita tulis akar-akar polinomial itu adalah p, q, r, dan s, maka menurut teorema vieta berlaku

x⁴ – (p+q+r+s)x³ + (pq + pr + ps + qr + qs + rs)x² – (pqr + pqs + prs + qrs)x + (pqrs)=0.

Ini artinya

p + q + r + s = 4,

pq + pr + ps + qr + qs + rs = – 1,

pqr + pqs + prs + qrs = – 16, dan

pqrs = – 12.

Nah, yang akan kita lihat adalah pada pqrs nya atau pada koefisien berderajat paling kecil, lebih mudahnya adalah biasanya yang paling belakang dari polinomial itu. Pada persamaan itu nilai yang akan menjadi patokan adalah – 12. Karena 12 itu adalah hasil kali dari akar-akarnya, maka ada kemungkinan akar-akar polinomialnya adalah faktor dari 12. Sekarang kita sebutkan faktor-faktor dari 12, yaitu 1, 2, 3, 4, 6, dan 12, itu juga berlaku untuk bilangan negatifnya.

Langkah selanjutnya adalah menggunakan aturan Horner.

	x4	x3	x2	x1	x0
koefisien	1	– 4	– 1	16	– 12
1		1	– 3	– 4	12
h(x) =	1	– 3	– 4	12	0

Ya, sisanya nol. Berarti dugaan kita benar. 1 adalah faktor dari polinomial itu. Berarti 1 adalah salah satu akar persamaan polinomial itu. Sekarang kita punya hasil bagi h(x)= x³ – 3x² – 4x + 12.

Secara lengkap boleh kita tulis seperti ini.

x⁴ – 4x³ – x² + 16x – 12 = (x – 1)(x³ – 3x² – 4x + 12)

mungkin 2 adalah akar yang lain. Siapa tau kan? Kita coba saja lagi dengan Horner. Kita pecah lagi h(x) yang telah kita dapat.

	x3	x2	x1	x0
koefisien	1	– 3	– 4	12
2		2	– 2	– 12
h(x) =	1	– 1	– 6	0

Benar sekali! :D berarti 2 juga akar persamaan polinomial itu. Kita dapatkan h(x)= x²– x – 6. Sekarang kita punya bentuk menarik dari polinomial yang tadi menjadi seperti ini.

x⁴ – 4x³ – x² + 16x – 12 = (x – 1)(x – 2)(x²– x – 6).

Pastinya dengan sangat mudah kita dapat memfaktorkan bentuk h(x) terakhir itu menjadi seperti ini.

x²– x – 6 = (x – 3)(x + 2). Sehingga secara lengkap persamaan polinomial tadi dapat kita ubah menjadi seperti ini.

x⁴ – 4x³ – x² + 16x – 12 = 0

⇔ (x – 1)(x – 2)(x – 3)(x + 2) = 0.

Jadi akar-akar persamaan polinomial itu adalah x₁ = – 2, x₂ = 1, x₃ = 2, dan x₄ = 3.

Sekarang kita kerjakan dengan geogebra.

Buka geogebranya, kemudian kita masukkan polinomialnya pada input, (tanpa = 0) seperti ini.

Tekan enter untuk melihat hasilnya, setelah disesuaikan hasilnya seperti ini.

Akar persamaan artinya nilai x berapa saja sehingga polinomialnya itu nilainya nol? Kalimat itu berarti kapan (untuk x berapa saja) grafik itu berpotongan dengan sumbu X? Kita bisa mengetahuinya dengan sangat mudah dengan cara begini.

1. Pilih intersect two object (perpotongan dua objek)

2. kemudian klik grafik dan klik sumbu X.

3. Seketika muncul titik perpotongan grafik dan sumbu X. Itulah akar persamaan polinomial

x⁴ – 4x³ – x² + 16x – 12 = 0.

Di sisi aljabar (sebelah kiri) akan terlihat koordinat titik A, B, C, dan D seperti ini.
 

Mudah sekali bukan? Akar-akarnya adalah A= – 2, B = 1, C = 2, dan D = 3.

Polinomial dengan akarnya berupa bilangan irrasional.

Sekarang bagaimana kalau persamaan polinomialnya seperti ini? Masih bisakah kita menyelesaikannya? Tentu saja bisa.

x⁴ – 2x³ – x² + 6x – 6 = 0

Penyelesaian:

Kita lihat, faktornya 6 adalah 1, 2, 3, dan 6. akan tetapi kalau kita masukkan bilangan-bilangan itu, tidak menghasilkan nol. Bagaimana ini? Apa yang harus kita lakukan?

Jangan panik. Kita cek dulu dengan geogebra. Masukkan polinomial itu pada kotak input kemudian tekan enter.

Hasilnya adalah seperti ini.

Untuk mengetahui akar-akar polinomialnya, kita cari titik potong antara grafik itu dengan sumbu X. Caranya dengan intersect two object, pilih grafiknya, kemudian pilih sumbu X.

Hasilnya seperti ini.

Dan di bagian aljabar kita lihat titiknya adalah seperti ini.

Akar-akarnya adalah A = – 1,73 dan B = 1,73. kok hasilnya aneh? Desimal gitu sih? Pasti itu hasilnya adalah pembulatan. Kurang tepat dong.. Apalagi kalau nanti kita cek dengan Horner, x kita ganti dengan 1,73 mungkin tidak menghasilkan nol.

Jangan terburu-buru kecewa seperti itu, kawan, tidak baik. Sabar, orang sabar akan disayang Allah. Mari kita menggunakan sarana yang ada di geogebra untuk mengungkap apa yang terkandung di balik rahasia yang ada. Kita pakai bantuan dari lingkaran. Klik ikon lingkaran 
  
(circle with center through point: lingkaran dengan pusat tertentu dan melewati titik tertentu). Kemudian klik pada titik pusat O(0,0) dan klik titik B. Apa yang terjadi?

Terbentuk satu lingkaran dengan pusat O(0,0) dan berjari-jari berapa? Kita lihat pada bagian aljabarnya, seperti ini.

Diperoleh persamaan lingkaran x² +y² = 3.

Lho, itu kan lingkaran dengan pusat (0,0) dan jari-jarinya [Math Processing Error]

Sekarang aku tau nih.. Berarti titik A = [Math Processing Error] dan titik B = [Math Processing Error]

Artinya akar-akar persamaan polinomial itu adalah [Math Processing Error]

Ada satu lagi cara menarik yang ditemukan oleh Ajatoel Oelja, seorang yang penuh energi dan berselebrasi njungkel-njungkel, rol depan. Sangat unik pria yang satu ini.

Persamaan polinomial

x⁴ – 2x³ – x² + 6x – 6 = 0

bisa kita kerjakan dengan mengelompokkan pangkat-pangkat yang selang-seling (pangkat genap dengan pangkat genap: x⁴, x², x⁰ dan pangkat ganjil dengan pangkat ganjil: x³, x¹) sehingga tercipta suasana yang sejuk untuk dinikmati. Jadi persamaan polinomial itu kini menjadi seperti ini.

x⁴ – x² – 6 – 2x³ + 6x = 0

⇔ (x⁴ – x² – 6) – (2x³ – 6x) = 0

⇔ (x² + 2)(x² – 3) – 2x(x² – 3) = 0

⇔ (x² – 2x + 2)(x² – 3) = 0.

Jelas bahwa x² – 2x + 2 > 0 (positif). Jadi x² – 3 haruslah bernilai nol.

Diperoleh x² – 3 = 0

[Math Processing Error]
[Math Processing Error]

kira-kira saya sudah paham belum ya? Untuk mengujinya, silakan kerjakan soal latihan di bawah ini dengan cara Ajatoel Oelja tadi.

Tentukan akar-akar persamaan polinomial berikut ini.

1. x⁴ – 2x³ + 3x² + 4x – 10 = 0
2. x⁴ – 2x³ + 6x – 9 = 0
3. x⁴ – 3x³ – x² + 15x – 20 = 0
4. x⁴ – x³ – 3x² + 6x – 18 = 0
5. x⁴ – 4x³ – x² + 28x – 42 = 0

Persamaan kuadrat dengan GeoGebra

geogebra mempunyai dua tampilan, sebelah kiri untuk aljabarnya, dan sebelah kanan untuk geometrinya.
jika tampilan geogebra masih menggunakan bahasa inggris, kita bisa menggantinya dengan bahasa indonesia dengan cara klik option, language, F - L, Indonesian.

ok, kita mulai.
sebagai contoh pertama, kita akan mencari bagaimana bentuk grafik dari persamaan kuadrat ini?
x^2-7x+10=0
bagaimana solusinya?
pertama, masukkan x^2-7x+10 ke kotak masukan: (berada di kiri bawah) terus ditekan enter.

akan muncul pada jendela sebelah kiri (aljabar) f(x)=x^2-7x+10 dan pada jendela sebelah kanan (geometri), kita bisa melihat gambar grafik dari fungsi yang kita masukkan. di sini fungsi itu secara default (otomatis) didefinisikan sebagai f.

kemudian untuk mengetahui akar-akar persamaan kuadrat itu, ketikkan pada kotak masukan: akar[f], kalau sudah menggunakan bahasa indonesia, biasanya diketikkan 'aka' sudah muncul sendiri akar[], kalau masih menggunakan bahasa inggris, silakan ketik root[f].

sekarang pada jendela aljabar, di bawah objek-objek terikat muncul solusinya, yaitu A=(2,0) dan B=(5,0). ini berarti akar-akar persamaan f(x)=0 adalah x1=2 dan x2=5.

terlihat pada jendela geometri kedua akar itu, yaitu titik A dan B.

ok. ilustrasi dan penyelesaiannya sudah kita dapatkan.
sekarang hapus semuanya yuk..
caranya, pastikan icon panah (di bawah tulisan berkas) terpilih.
klik pada sembarang daerah kosong,
tekan ctrl + a (menyeleksi semua objek di jendela)
kemudian tekan tombol delete pada keyboard. (kalau di laptop 14" biasanya di sebelah pojok kanan atas).
secara ajaib dan mengejutkan, semuanya bersih tanpa sisa.
:D

episode ke dua
sekarang bagaimana dengan persamaan kuadrat ini?
x^2-8x+16=0
yuk, kita ikuti langkahnya. masih ingat yang tadi kan?
masukkan x^2-8x+16 ke kotak masukan, lalu tekan enter.

objek-objek bebas akan terlihat rumus fungsi f.

dan tampilan secara menyeluruh adalah seperti ini.

ketikkan akar[f] pada kotak masukan, enter.
hasilnya seperti ini.

gambar grafik f menyentuh sumbu x di satu titik saja. seperti ini nih..

hapus lagi semuanya.

episode ke tiga
kalau fungsi ini bagaimana solusinya?
x^2-6x+10=0
gambar grafik fungsi terlihat naik dan tidak menyentuh sama sekali.

dan jika kita ingin tahu berapa nilai x yang memenuhi persamaan itu maka masukkan saja perintahnya pada kotak masukan: akar[f]. apa yang terjadi? ya seperti ini.

oh, sekarang aku tahu!!
jadi grafik fungsi kuadrat itu ada 3 macam jenis,
yang pertama bisa memotong sumbu x di dua titik,
yang ke dua menyinggung sumbu x (di satu titik saja),
dan yang ke tiga, bisa tidak menyentuh sumbu x sama sekali.

ketika kita mengaitkan akar-akar persamaan kuadrat tadi dengan gambar grafik, ternyata pas.

nah, di dalam akar ini yang menentukan apakah persamaan kuadrat itu punya satu, dua, atau tidak ada sama sekali penyelesaian.
kalau di dalam akar ini nilainya > 0 (baca: positif) maka nantinya akan ada dua, karena ada tanda + dan - di depannya.
kalau di dalam akar nilainya = 0 (nol) maka ada satu saja akarnya, karena + akar nol = - akar nol = ya nol juga.
trus kalau di dalam akar nilainya negatif, maka sementara ini tidak boleh karena di bilangan riil tak ada akar negatif. mungkin kalau nanti belajar bilangan kompleks ya ada nilainya. dan itu bisa kita lihat sendiri grafik fungsi yang tidak ada penyelesaiannya itu tidak menyentuh sama sekali sumbu x. di sumbu x tidak ada ketinggian, berarti fungsi f nya sama dengan nol.

Contoh penyelesaian soal dengan GeoGebra

Contoh soal:
D adalah sebuah titik dalam segitiga sama sisi ABC yang memenuhi sudut ADB=150 derajat. Buktikan bahwa segitiga yang dibentuk dengan mengambil segmen CD, D'D, CD' sebagai tiga sisinya adalah segitiga siku-siku dengan merotasikan segitiga ADB sebesar 60 derajat.

Dengan menggunakan GeoGebra berikut langkah-langkahnya:
Seperti yang diketahui diatas bahwa terdapat titik D dalam segitiga ABC sama sisi dengan sudut ADC sebesar 150 derajat.

Langkah pertama kita buat titik A dengan menggunakan tool New Point kemudian membuat sudut titik D sebesar 150 derajat dengan menggunakan tool Angel with Given Size.

Gambar 1

Ganti nama titik B dengan D sesuai yang diketahui diatas dengan mengklik dua kali titik tersebut lalu pilih rename.
Langkah selanjutnya gunakan tool Midpoint or Center untuk mendapatkan titik B diantara titik D dan A' yang merupakan titik tengah dari DA' dan salah satu titik pada segitiga ABC.
Selanjutnya membuat segitiga ABC dengan perpotongan dua lingkaran dititik tengah A dan titik tengah B yang akan menghasilkan titik C. Tool yang digunakan adalah Circle with Center through point.

Gambar 2

Untuk mendapatkan perpotongan di C pada dua lingkaran tersebut gunakan tool Intersect Two Objects dengan cara mengklik pada kedua garis yang berpotongan tersebut.

Gambar 3

Langkah selanjutnya adalah menyembunyikan bagian-bagian yang tidak perlu dengan cara mengklik lingkaran penuh pada jendela kiri sehingga lingkaran tersebut menjadi putih. Bila anda masih belum memahami sebaiknya anda melihat dulu pengenalan menu dalam GeoGebra yang sudah saya bahas sebelumnya.

Selanjutnya kita akan menghubungkan ketiga titik ABC yang sudah dibuat agar menjadi sebuah segitiga sama sisi dengan menggunakan tool Polygon dengan cara mengklik titik A lalu titik B lalu titik C dan terakhir titik A.

Gambar 4

Masih dengan tool yang sama ulangi langkah seperti di atas untuk membuat segitiga ADB dengan mengklik dari A lalu B lalu D dan terakhir ke A

Sekarang kita akan merotasi titik ADB sebesar 60 derajat seperti yang diketahui diatas dengan cara menggunakan tool Rotate Object around point by Angle yaitu dengan mengklik segitiga ADB lalu klik pada titik A maka akan menghasilkan rotasi yaitu segitiga AD'B.

Gambar 5

Langkah terakhir membuktikan segitiga CDD' merupakan segitiga siku-siku dengan menghubungkan tiga titik C, D dan D' menggunakan tool Polygon agar terbentuk sebuah segitiga. Setelah itu gunakan tool Angle untuk melihat besar sudut pada segitiga CDD' dengan cara mengklik dari titik D lalu titik D' lalu titik C.

Berikut hasil akhirnya

Hasil akhir

Selamat mencoba...

Cara menggunakan menu input GeoGebra

Langsung saja kita buka program GeoGebra dan buat sebuah segitiga ABC. Kenapa saya menggunakan Segitiga bukan bangun datar lainnya? karena tutorial yang saya bahas kemarin banyak menggunakan segitiga sehingga anda akan lebih mudah dalam mengaplikasikannya.
Pada tutorial ini kita akan mencari sebuah Luas dari segitiga yang anda buat nanti. Rumus untuk mencari Luas Segitiga adalah 1/2 x alas x tinggi.
Setelah anda membuat Segitiga ABC selanjutnya cari tinggi dari ABC dengan menggunakan Tool perpendikuler line. Alas yang saya gunakan adalah BC seperti gambar dibawah :

Setelah anda membuat garis lurus gunakan Tool Intersec Two Object untuk memberi perpotongan di D dan gunakan Tool Segmeny between Two poin untuk menarik garis dari titik A ke titik D.
Sekarang masukkan input di dalam Input Bar yaitu alas = segment [B,C] dan tinggi = segment [A,D] dan akan keluar di Tampilan Aljabar

Langkah terakhir kita gunakan rumus diatas pada menu input kita tulis L = 0.5*alas*tinggi
1/2 kita tulis 0.5 (gunakan titik bukan koma)
* (menyatakan perkalian)

Jadi benar bahwa Luas dari segitiga ABC tersebut adalah 9.28 dan hasilnya sama dengan poly1 yang merupakan gambar segitiga ABC yang kita buat dari awal tadi dan rumus segitiga tersebut terbukti kebenarannya.

GeoGebra Software Pembelajaran Matematika Gratis

Ada Software Matematika yang bagus untuk penunjang sebagai guru matematika, yaitu GeoGebra. Apa itu GeoGebra? GeoGebra adalah software gratis berbasis pembelajaran matematika yang dikembangkan oleh Markus Hohenwarter yang berasal dari Austria. GeoGebra bersifat dinamis dan interaktif untuk mendukung pembelajaran dan penyelesaian soal-soal matematika khususnya Geometri, Aljabar dan Kalkulus. Dengan GeoGebra kita bisa membuat sebuah kontruksi titik yang berupa Point, Vektor, Segmentasi ataupun Garis termasuk dengan fungsinya. Selain itu GeoGebra juga memiliki kemampuan untuk menggunakan variable dengan angka, vektor dan titik, menemukan turunan dan integral fungsi dan menawarkan perintah akar. GeoGebra bisa digunakan dengan Online dan Offline, tetapi sebelumnya komputer anda harus terinstal Aplikasi JAVA dulu. Jika belum punya download Disini.

Jika anda mempunyai sebuah website, GeoGebra juga bisa anda pasang dalam sebuah website, tetapi website anda harus mendukung Applet. File HTML yang anda dapatkan dari hasil ekport dari GeoGebra dan Copy kan file HTML tadi ke website anda dengan menambahkan awal <applet> dan diakhiri </applet>.

Untuk kedepannya saya juga akan memposting cara menggunakan GeoGebra jadi terus ikuti  blog saya ya...

Untuk menggunakannya silahkan download file installernya secara offline dibawah ini:
GeoGebra 4.0.30.0 - Download Here (Mediafire - 11Mb)

Mengalikan dengan 11

Mengalikan bilangan dengan 11 adalah menjumlahkan pasangan bilangan yang berdampingan. Contohnya 436 x 11 => [4][4 + 3][3 + 6][6] => 4796

Contoh lain: 3254 x 11 => [3][3 + 2][2 + 5][5 + 4][4] =>  35794

 

Kedua contoh di atas kebetulan hasil penjumlahan kedua angka yang berdampingan berjumlah di bawah 10. Bagaimana jika hasil penjumlahannya 10 atau lebih? Perhatikan contoh berikut:

4657 x 11 => [4][4+6][6+5][5+7][7] => [4][10][11][12][7]

Dalam kasus ini, pindahkan digit pertama dari dua digit yang ada dan tambahkan ke angka yang ada di kotak depan seperti berikut: [4+1][0+1][1+1][2][7] => 51227

Bagaimana cara menghitungnya di kepala?

Ketika kita mendengar atau melihat bilangan 4657, kita tahu bahwa 4 + 6 = 10, 6 + 5 = 11, dan 5 + 7 = 12, maka yang kita lakukan di kepala kita adalah:

Untuk bilangan pertama, karena 4 + 6 = 10, maka kita menambah 4 dengan 1 = 5, tersisa bilangan 0

Untuk bilangan kedua, karena 6 + 5 = 11 dan kita menyimpan angka 0, maka kita menambah 0 dengan 1 = 1, tersisa bilangan 1.

Untuk bilangan ketiga, karena 5 + 7 = 12 dan kita menyimpan 1, maka kita menambah 1 dengan 1 = 2, tersisa bilangan 2.

Sehingga kita mendapatkan bilangan 5, 1, 2, 2, dan bilangan terakhir 7, menjadi 51227.

7715 x 11 = ?

Karena 7 + 7 = 14, 7 + 1 = 8, dan 1 + 5 = 6, maka:

Untuk bilangan pertama, karena 7 + 7 = 14, maka kita menambah 7 dengan 1 = 8, tersisa bilangan 4

Untuk bilangan kedua, karena 7 + 1 = 8 (kurang dari 10) dan kita menyimpan angka 4, maka kita menambah 4 dengan 0 = 4, tersisa bilangan 8.

Untuk bilangan ketiga, karena 1 + 5 = 6 (kurang dari 10) dan kita menyimpan 8, maka kita menambah 8 dengan 0 = 8, tersisa bilangan 6.

Sehingga kita mendapatkan bilangan 8, 4, 8, 6, dan bilangan terakhir 5, menjadi 84865.

999 x 11 =

Karena 9 + 9 = 18, dan 9 + 9 = 18, maka:

Untuk bilangan pertama, karena 9 + 9 = 18, maka kita menambah 9 dengan 1 = 10, tersisa bilangan 8

Untuk bilangan kedua, karena 9 + 9 = 18 dan kita menyimpan angka 8, maka kita menambah 8 dengan 1 = 9, tersisa bilangan 8.

Sehingga kita mendapatkan bilangan 10, 9, 8, dan bilangan terakhir 9, menjadi 10989.

828 x 11 =

Karena 8 + 2 = 10, dan 2 + 8 = 10, maka:

Untuk bilangan pertama, karena 8 + 2 = 10, maka kita menambah 8 dengan 1 = 9, tersisa bilangan 0

Untuk bilangan kedua, karena 2 + 8 = 10 dan kita menyimpan angka 0, maka kita menambah 0 dengan 1 = 1, tersisa bilangan 0.

Sehingga kita mendapatkan bilangan 9, 1, 0, dan bilangan terakhir 8, menjadi 9108.

Mengalikan dengan 9 dengan bilangan kembar

11 x 9 = 99

22 x 9 = ....? Kalikan 2 dengan 9 = 18, kemudian sisipkan angka 9 di tengah => 198

33 x 9 => 3 x 9 = 27, sisipkan angka 9 di tengah => 297

44 x 9 = 396

77 x 9 = 693 ... dan seterusnya.

111 x 9 => 1 x 9 = 09, sisipkan 99 di tengah => 999

222 x 9 => 2 x 9 = 18, sisipkan 99 di tengah => 1998

555 x 9 = 4995

666 x 9 = 5994

888 x 9 = 7992